Chromatic number, clique subdivisions, and the conjectures of Haj\'os and Erd\H{o}s-Fajtlowicz

For a graph $G$, let $\chi(G)$ denote its chromatic number and $\sigma(G)$ denote the order of the largest clique subdivision in $G$. Let H(n) be the maximum of $\chi(G)/\sigma(G)$ over all $n$-vertex graphs $G$. A famous conjecture of Haj\'os from 1961 states that $\sigma(G) \geq \chi(G)$ for every graph $G$. That is, $H(n) \leq 1$ for all positive integers $n$. This conjecture was disproved by Catlin in 1979. Erd\H{o}s and Fajtlowicz further showed by considering a random graph that $H(n) \geq cn^{1/2}/\log n$ for some absolute constant $c>0$. In 1981 they conjectured that this bound is tight up to a constant factor in that there is some absolute constant $C$ such that $\chi(G)/\sigma(G) \leq Cn^{1/2}/\log n$ for all $n$-vertex graphs $G$. In this paper we prove the Erd\H{o}s-Fajtlowicz conjecture. The main ingredient in our proof, which might be of independent interest, is an estimate on the order of the largest clique subdivision which one can find in every graph on $n$ vertices with independence number $\alpha$.Comment: 14 page

On the multiple Borsuk numbers of sets

The Borsuk number of a set S of diameter d >0 in Euclidean n-space is the smallest value of m such that S can be partitioned into m sets of diameters less than d. Our aim is to generalize this notion in the following way: The k-fold Borsuk number of such a set S is the smallest value of m such that there is a k-fold cover of S with m sets of diameters less than d. In this paper we characterize the k-fold Borsuk numbers of sets in the Euclidean plane, give bounds for those of centrally symmetric sets, smooth bodies and convex bodies of constant width, and examine them for finite point sets in the Euclidean 3-space.Comment: 16 pages, 3 figure

О РЕАЛИЗАЦИИ СЛУЧАЙНЫХ ГРАФОВ ГРАФАМИ РАССТОЯНИЙ И ДИАМЕТРОВ В ЕВКЛИДОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

the realization of a random graph by geometric graphs in the space Rd. In the case of graphs of diameters we prove asymptotic behavior for the threshold probability on the plane, as well as the exact expression in the case d � 3. В данной работе рассматривается задача об отыскании пороговых вероятностей для реализации случайного графа геометрическим графом в пространстве Rd. В случае графов диаметров доказывается асимптоти­ ка для пороговой вероятности на плоскости, а также точное по порядку выражение для d � 3.

Новые поликарбонатсилоксаны на основе силоксан-N-фталимидинов

Objectives. Polymeric carbonate siloxanes containing a siloxane-N-phthalimidine group in the chain frame are new synthetic comb-like macromolecule systems. This work aims to study the possibility of applying them in the form of film materials for heat-resistant, high-performance gas-permeable membranes.Methods. Comb-like polycarbonate siloxanes of the siloxane-containing polyether class were obtained using various polycondensation methods. i.e., by the polymer-analogous transformation of polycarbonate-allyl-N-phthalimidines, using their reaction in an alkyl hydride siloxane solution; polycondensation of N-(3-(pentamethyldisiloxane)-propyl)-3,3-bis-(4'-hydroxyphenyl)phthalimidine with diphenylolpropane bis-chloroformate in a solution using triethylamine as an acceptor of hydrochloric acid; interphase polycondensation of the above reagents in a dichloromethane aqueous alkali system. The structures of the obtained initial and polymeric compounds were confirmed by proton nuclear magnetic resonance spectroscopy and elemental analysis. All of the synthesized comb-like copolymers had good solubility in several available solvents and film formations.Results. The new comb-like polycarbonate siloxanes had high thermal stability. According to thermogravimetric analysis, the introduction of up to 20 wt % siloxane units makes it possible to increase the heat resistance of polycarbonate siloxanes by 25 °C. Concurrently, their glasstransition temperature reaches 160 °C. Copolymers of polycarbonate siloxanes in the form of films have a high tensile strength above 50 MPa and an elastic modulus of up to 2000 MPa. The permeability coefficients of gases through a copolymer of polycarbonate siloxanes in the form of a film for several gases surpass the permeability of industrial polycarbonate from diphenylolpropane and fluorine-containing siloxane polycarbonate.Conclusions. The results achieved indicate the possibility of creating new polymeric combshaped siloxane systems with a variable structure that can contribute to obtaining the properties desired from them. Combined with high selectivity gas separation, this makes it possible to use such comb-shaped polycarbonate siloxanes as film membrane materials with an increased operating temperature range.Цели. Полимерные карбонатсилоксаны, содержащие в обрамлении цепи силоксан-N-фталимидиновую группировку, являются новыми синтетическими гребнеобразными системами макромолекул. Цель работы – изучить возможность их применения в виде пленочных материалов для термостойких высокоэффективных газопроницаемых мембран.Методы. Гребнеобразные поликарбонатсилоксаны класса силоксан-содержащих полиэфиров были получены различными поликонденсационными методами: полимераналогичным превращением поликарбонат-аллил-N-фталимидинов их реакцией в растворе с алкилгидридсилоксанами; поликонденсацией N-(3-(пентаметилдисилокси)-пропил)-3,3-бис-(4'-окси-фенил)фталимидина с бис-хлорформиатом дифенилолпропана в растворе, используя триэтиламин в качестве акцептора соляной кислоты или межфазной поликонденсацией указанных реагентов в системе метиленхлорид–водная щелочь. Структуры полученных исходных и полимерных соединений были подтверждены спектроскопией ядерного магнитного резонанса 1 H и элементным анализом. Свойством всех синтезированных гребнеобразных сополимеров является их хорошая растворимость в ряде доступных растворителях и пленкообразование.Результаты. Показано, что новые гребнеобразные поликарбонатсилоксаны обладают высокой термической устойчивостью. По данным термогравиметрического анализа введение в сополимер до 20 масс. % силоксановых звеньев позволяет повысить термостойкость поликарбонатсилоксанов на 25 °C. При этом, температура стеклования их достигает 160 °C. Сополимеры поликарбонатсилоксанов в виде пленок обладают высокой прочностью на разрыв выше 50 МПа и модулем упругости до 2000 МПа. Коэффициенты проницаемости газов через coполимер поликарбонатсилоксанов в виде пленки по ряду газов превосходят проницаемость для промышленного поликарбоната из дифенилолпропана и фторсодержащего силоксанового поликарбоната.Выводы. Достигнутые результаты свидетельствуют о возможности создания новых полимерных гребнеобразных силоксановых систем с варьируемой структурой, которая способствует для них получению заданных свойств. В сочетании с высокой селективностью разделения газов это позволяет использовать новые гребнеобразные поликарбонатсилоксаны в качестве пленочных мембранных материалов с повышенным интервалом рабочих температур